Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經過點A、B，并與X軸交于另一點C，其頂點為P．

（1）求a，k的值；

（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點的坐標；

（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）1，﹣1（2）（2，2）（3）

【解析】

試題分析：（1）先求出直線y=﹣3x+3與x軸交點A，與y軸交點B的坐標，再將A、B兩點坐標代入y=a（x﹣2）2+k，得到關于a，k的二元一次方程組，解方程組即可求解；

（2）設Q點的坐標為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E．在Rt△AQF與Rt△BQE中，用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q點的坐標；

（3）當點N在對稱軸上時，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對角線，根據拋物線的對稱性及正方形的性質，得到M點與頂點P（2，﹣1）重合，N點為點P關于x軸的對稱點，此時，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，則四邊形AMCN為正方形，在Rt△AFN中根據勾股定理即可求出正方形的邊長．

試題解析：（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，

∴A（1，0），B（0，3）．

又∵拋物線y=a（x﹣2）2+k經過點A（1，0），B（0，3），

∴，解得，

故a，k的值分別為1，﹣1；

（2）設Q點的坐標為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點F，過點B作BE垂直于直線x=2于點E．

在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，

在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，

∵AQ=BQ，

∴1+m2=4+（3﹣m）2，

∴m=2，

∴Q點的坐標為（2，2）；

（3）當點N在對稱軸上時，NC與AC不垂直，所以AC應為正方形的對角線．

又∵對稱軸x=2是AC的中垂線，

∴M點與頂點P（2，﹣1）重合，N點為點P關于x軸的對稱點，其坐標為（2，1）．

此時，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，

∴四邊形AMCN為正方形．

在Rt△AFN中，AN==，即正方形的邊長為．