Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB是等邊三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C在OA上且OC=1，連接BC．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→O的方向向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P移動(dòng)的路程為m．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OP，求滿足△BPO≌△OCB的m值；
（2）連接PC，求△OPC的面積s關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作邊AB的垂線l，并以直線l為對(duì)稱軸，作線段AC的對(duì)稱線段A1C1 ． 請(qǐng)寫(xiě)出在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段A1C1與y軸有交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△BPO≌△OCB，

∴BP=OC=1．

∴m=AB﹣BP=3﹣1=2

（2）

解：①如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA．

∵∠OAP=60°，∠PDA=90°，

∴∠APD=30°．

∴PD= PA m．

∴S= ×1× m= m；

②如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA．

∵OP=AB+OB﹣m=6﹣m，

∴PD= （6﹣m），

∴S= ×1× （6﹣m）= （6﹣m）．

綜上所述，S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=

（3）

解：如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在y軸上時(shí)．

由翻折的性質(zhì)可知：CC′⊥PE，DC=DC′，

又∵PE⊥AB，

∴DC∥PA．

∴∠C′CO=∠A=60°．

∴∠CC′O=30°．

∴CC′=2OC=2．

∴DC=1．

∵在△DCE中，∠EDC=90°，∠DCE=60°，

∴∠DEC=30°．

∴EC=2DC=2．

∴EC=CA．

∵DC∥AB，

∴ = ．

∴AP=2．即m=2．

如圖4所示：當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′在y軸上時(shí)．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線PD對(duì)稱，

∴PA=PA′．

∵∠A=60°，∠AOA′=90°，

∴∠AA′O=30°．

∴AA′=2OA=6．

∴PA=3．

∴點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，此時(shí)m=3．

如圖5所示：當(dāng)點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)C′在y軸上．

∵∠PCO=60°，∠POC=60°，

∴△OPC為等邊三角形．

∴PO=OC=1．

∴PB=2．

∴m=PB+AB=5．

∴線段A1C1與y軸有交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍是2≤m≤5

【解析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可知BP=OC，由m=AB﹣PB求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D，三角形OPC的面積S= OCDP，然后分為點(diǎn)P在AB和OB上兩種情況求得PD的長(zhǎng)，從而得到S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）求得點(diǎn)A′或點(diǎn)C′恰好在y軸上時(shí)m的值，從而可確定出m的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩點(diǎn)間的距離的相關(guān)知識(shí)，掌握同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個(gè)點(diǎn)，間距求法亦如此．平面任意兩個(gè)點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開(kāi)平方，距離公式要牢記．