Question

【題目】如圖，已知點A從點（1，0）出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運動，以O、A為頂點作菱形OABC，使點B、C在第一象限內，且∠AOC=60°，點P的坐標為（0，3），設點A運動了t秒，求：

（1）點C的坐標（用含t的代數式表示）；

（2）點A在運動過程中，當t為何值時，使得△OCP為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為：（（1+t），（1+t））；（2）當t=﹣1，t=2，t=3﹣1時，均可使得△OCP為等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）過點C作CH⊥x軸于點H，解直角三角形CHO，求出OH，CH的長，即可求出點C的坐標；

（2）因為等腰三角形OCP的腰和底不確定所以要分三種情況分別討論：①當以O為等腰三角形頂點時；②當以C為等腰三角形頂點時；③當以P為等腰三角形頂點時，求出t的值即可．

解：（1）過點C作CH⊥x軸于點H，

根據題意得：OA=1+t，

∵四邊形OABC是菱形，

∴OC=OA=1+t，

∵∠AOC=60°，

∴OH="OC"cos60°=OC=（1+t），CH="OC"sin60°=（1+t），

∴點C的坐標為：（（1+t），（1+t））；

（2）①當以O為等腰三角形頂點時，OC=OP，

∴1+t=3，

∴t=2；

②當以C為等腰三角形頂點時，PC=OC，則CH=OP=，

即（1+t）=，

解得：t=﹣1；

③當以P為等腰三角形頂點時，OP=PC，∠POC=30°，則Q（0，），

∴OC=3，

∴1+t=3，

∴t=3﹣1，

綜上可知，當t=﹣1，t=2，t=3﹣1時，均可使得△OCP為等腰三角形．