Question

【題目】如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM=CP，過點M作MN∥AO，交BO于點N，連結(jié)ND、BM，設(shè)OP=t．

（1）求點M的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變？并說明理由．
（3）當t為何值時，四邊形BNDM的面積最小；
（4）在x軸正半軸上存在點Q，使得△QMN是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合條件的點Q的坐標（用含t的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示，作ME⊥OA于點E，

∴∠MEP=∠POC=90°，

∵PM⊥CP，

∴∠CPM=90°，

∴∠OPC+∠MPE=90°，

又∵∠OPC+∠PCO=90°，

∴∠MPE=∠PCO，

∵PM=CP，

∴△MPE≌△PCO（AAS），

∴PE=CO=4，ME=PO=t，

∴OE=4+t，

∴點M的坐標為（4+t，t）（0＜t＜4）

（2）

解：線段MN長度不變，

理由：∵OA=AB=4，

∴點B（4，4），

∴直線OB的解析式為：y=x，

∵點N在直線OB上，MN∥OA，M（4+t，t），

∴點N（t，t），

∵MN∥OA，M（4+t，t），

∴MN=|（4+t）﹣t|=4，

即MN的長度不變

（3）

解：由（1）知，∠MPE=∠PCO，

又∵∠DAP=∠POC=90°，

∴△DAP∽△POC，

∴ ，

∵OP=t，OC=4，

∴AP=4﹣t，

∴ ，得AD= ，

∴BD=4﹣ = ，

∵MN∥OA，AB⊥OA，

∴MN⊥BD，

∵ = = ，

∴當t=2時，四邊形BNDM的面積最小，最小值6

（4）

解：在x軸正半軸上存在點Q，使得△QMN是等腰三角形，此時點Q的坐標為：Q1（t+2，0），Q2（4+t﹣ ，0），Q3（4+t+ ，0）Q4（t+ ，0）其中（0＜t＜4），Q5（t﹣ ，0）

理由：當（2）可知，OP=t（0＜t＜4），MN=PE=4，MN∥x軸，所以共分為以下幾種請：

第一種情況：當MN為底邊時，作MN的垂直平分線，與x軸的交點為Q1，如圖2所示

=2，

∴OQ1=t+2，

∴Q1（t+2，0）

第二種情況：如圖3所示，當MN為腰時，以M為圓心，MN的長為半徑畫弧交x軸于點Q2、Q3，連接MQ2、MQ3，則MQ2=MQ3=4，

∴Q2E= ，

∴OQ2=OE﹣Q2E=4+t﹣ ，

∴Q2（4+t﹣ ，0），

∵Q3E=Q2E，

∵OQ3=OE+Q3E=4+t+ ，

∴Q3（4+t+ ，0）；

第三種情況，當MN為腰時，以N為圓心，MN長為半徑畫圓弧交x軸正半軸于點Q4，

當0＜t＜2 時，如圖4所示，

則PQ4= = ，

∴OQ4=OP+PQ4=t+ ，

即Q4（ ，0）．

當t=2 時，

則ON=4，此時Q點與O點重合，舍去；

當2 ＜t＜4時，如圖5，以N為圓心，MN為半徑畫弧，與x軸的交點為Q4，Q5．

Q4的坐標為：Q4（ ，0）．

OQ5=t﹣ ，

∴Q5（t﹣ ，0）

所以，綜上所述，當0＜t＜4時，在x軸的正半軸上存在5個點Q，分別為Q1（t+2，0），Q2（4+t﹣ ，0），Q3（4+t+ ，0）Q4（t+ ，0），Q5（t﹣ ，0）使△QMN是等腰三角形

【解析】（1）作ME⊥OA于點E，要求點M的坐標只要證明△OPC≌△EM即可，根據(jù)題目中的條件可證明兩個三角形全等，從而可以得到點M的坐標；（2）首先判斷是否變化，然后針對判斷結(jié)合題目中的條件說明理由即可解答本題；（3）要求t為何值時，四邊形BNDM的面積最小，只要用含t的代數(shù)式表示出四邊形的面積，然后化為頂點式即可解答本題；（4）首先寫出符合要求的點Q的坐標，然后根據(jù)寫出的點的坐標寫出推導(dǎo)過程即可解答本題．本題考查四邊形綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖象，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等．