Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，點A與點E重合；

（1）如圖1，若AB=10，BC=6，點E落在CD邊上，求AP的長；

（2）如圖2，若AB=8，BC=6， PE與CD相交于點O，且OE=OD，求AP的長；

（3）如圖3，若AB=4，BC=6，點P是AD的中點，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）4.8（3）3.6

【解析】試題分析：（1）在Rt△BCE中，BC＝6，BE＝AB＝10，根據勾股定理求出CE的值為8，則DE＝10－8＝2，設AP=x，則PE=x,DP＝6－x，在Rt△DPE中，根據勾股定理得出方程，解方程即可；

（2）由折疊的性質得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根據勾股定理得出方程，解方程即可；

(3)以點A為原點建立平面直角坐標系，則點A(0,0),B(4,0),C(4,6),D(0,6),P(0,3),設點E的坐標為（x,y）,根據PE＝PA＝3可得，PE= ,BE= ,解得y= ,再將y= 代入中得，x()=0，所以x=0或x= ,所以y= ,再根據DE＝ ；

試題解析：

（1）∵△ABP沿BP翻折至△EBP，點A與點E重合，AB=10，

∴BE＝AB＝10，PE＝AP，

∴在Rt△BCE中，CE＝ ，

∴DE＝CD－CE＝2，

設AP=x,則DP=6-x

∵在Rt△DPE中,DP2+DE2=PE2,

∴(6-x)2+22=x2,

∴x= ;

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根據題意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，

∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
設AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，
∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，
根據勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即62+（8-x）2=（x+2）2，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；

（3）以點A為原點建立平面直角坐標系，則點A(0,0),B(4,0),C(4,6),D(0,6),P(0,3),設點E的坐標為（x,y）,根據PE＝PA＝3可得，

PE= ,BE= ,

解得y= ,

把y= 代入中得，

x()=0，

所以x=0（舍去）或x= ,

所以y= ,

∴DE＝ ；