Question

【題目】如圖（1），E是正方形ABCD的邊BC上的一個點（E與B、C兩點不重合），過點E作射線EP⊥AE，在射線EP上截取線段EF，使得EF=AE；過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G．

（1）求證：FG=BE；
（2）連接CF，如圖（2），求證：CF平分∠DCG；
（3）當 = 時，求sin∠CFE的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵EP⊥AE，

∴∠AEB+∠GEF=90°，

又∵∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠GEF=∠BAE，

又∵FG⊥BC，

∴∠ABE=∠EGF=90°，

在△ABE與△EGF中，

，

∴△ABE≌△EGF（AAS），

∴FG=BE；

（2）

證明：由（1）知：BC=AB=EG，

∴BC﹣EC=EG﹣EC，

∴BE=CG，

又∵FG=BE，

∴FG=CG，

又∵∠CGF=90°，

∴∠FCG=45°= ∠DCG，

∴CF平分∠DCG

（3）

解：如圖，作CH⊥EF于H，

∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，

∴△EHC∽△EGF，

∴ = ，

根據 = ，設BE=3a，則EC=a，EG=4a，FG=CG=3a，

∴EF=5a，CF=3 a，

∴ = ，HC= a，

∴sin∠CFE= = ．

【解析】（1）根據同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性質得到BE=CG，根據FG=BE，等量代價得到FG=CG，即三角形FCG為等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得證；（3）如圖，作CH⊥EF于H，則△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根據BE與BC的比值，設出BE，EC，以及EG，FG，利用勾股定理表示出EF，CF，進而表示出HC，在直角三角形HC中，利用銳角三角函數定義即可求出sin∠CFE的值．