Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC、BC邊上分別截取CD=CE，連結DE．將△DCE繞著點C順時針旋轉θ角，連結BE、AD．

（1）當0°＜θ＜90°時，如圖②，直線BE交直線AD于點F．

①求證：△ACD≌△BCE．

②求證：AF⊥BE．

（2）當0°＜θ＜360°，AC=5，CD=3，四邊形CDFE是正方形時，直接寫出AF的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

【解析】

試題分析: （1）①根據旋轉的性質和已知，運用SAS證明即可；②由問題原型中的結論：△ACE≌△BCE得出∠BFO=∠ACB，結合等量代換進行求解即可；

（2）運用CD∥BE結合初步探究中的結論，可證CD⊥AF，結合勾股定理即可求解．

試題解析：（1）①如圖②，

∵△DCE繞著點C順時針旋轉θ角，由旋轉的性質可知，

∴∠ACD=∠BCE=θ，

又∵AC=BC，CD=CE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE；

②如圖②，設AF與BC交點于O，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠DAC=∠EBC，

∵∠AOC=∠BOF，

∴∠BFO=∠ACB=90°，

∴AF⊥BE；

（2）如圖③，

∵AC=5，CD=3，四邊形CDFE是正方形時，

∵AD⊥CD，

∴AD=，

∴AF=4+3=7，

如圖4，

∴AF=4﹣3=1．