Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一交點為E，其頂點為F．

（1）求a、c的值；

（2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a＝，c＝2；（2）△OEF為等腰三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據△ABC為等腰直角三角形可以得出 OA＝OB＝OC＝c，從而得出S△ABC＝,據此求出c的值，然后進一步得出C點坐標，接著將其代入解析式求出的值即可；

（2）設拋物線向右平移m個單位，則向上平移m個單位，則點F（m，m+2），則新拋物線的表達式為：y＝(xm)2+m+2，將點C的坐標代入上式進一步分析證明即可．

（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∴OA＝OB＝OC＝c，

故S△ABC＝,

解得：或（舍去），

故點C的坐標分別為：（2，0），

將點C的坐標代入y＝x2+2并解得：

，

故，c＝2；

（2）根據題意，設拋物線向右平移m個單位，則向上平移m個單位，

則點F（m，m+2），

∴新拋物線的表達式為：y＝(xm)2+m+2，

將點C的坐標代入上式得：0＝(2m)2+m+2

解得：m＝0（舍去）或6，

則函數的對稱軸為x＝m＝6，

∴點F坐標為：（6，8），則點E（10，0），而點O（0，0），

則OF2＝，OE2＝100，EF2＝，

即OF＝OE，

∴△OEF為等腰三角形．