Question

已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點E，過點C作直線FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延長線于點D.
 
小題1:求證：FD是⊙O的切線；
小題2:設OC與BE相交于點G，若OG＝4，求⊙O
半徑的長；
小題3:在（2）的條件下，當OE＝6時，求圖中陰影部分的面積.（結果保留根號）

Answer 1

小題1:連接OC．∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∵OE⊥AC∠FCA=∠AOE
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°
∴∠FCO=90°
∴FD是⊙O的切線（4分）

小題2:∵OE⊥AC，AO=CO
∴AE=EC
∵AO=BO
∴OE∥CB且2OE=BC
∴△GEO∽△CGB
∴
∵OG＝4
∴CG=8
OC=CG+OG=12
⊙O半徑的長為12.  （7分）
小題3:∵OE＝6，根據（2）可得BC=12
∵⊙O半徑的長為12.
∴△OCB是等邊三角形，即∠COB=60°
DC=OCtan∠COB=12
=72,
=24
陰影部分的面積.=（10分）

（1）連接OC．欲證明FD是⊙O的切線，只需證明∠FCO=90°；
(2)利用△GEO∽△CGB求出半徑；
（3）先求出△OCD面積，再求出扇形OCB面積，這樣就能求出陰影面積。