Question

【題目】如圖，D為等邊三角形ABC內的一點，DA＝5，DB＝4，DC＝3，將線段AD以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段AD′，下列結論：①點D與點D′的距離為5；②∠ADC＝150°；③△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到；④點D到CD′的距離為3；⑤S四邊形ADCD′ ＝6＋．其中正確的有(　�。�

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

連結DD′，根據旋轉的性質得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判斷△ADD′為等邊三角形，則DD′=5，可對①進行判斷；由△ABC為等邊三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，則把△ABD逆時針旋轉60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，于是可對③進行判斷；再根據勾股定理的逆定理得到△DD′C為直角三角形，則可對②④進行判斷；由于四邊形ADCD′的面積=△ADD′的面積+△D′DC的面積，利用等邊三角形的面積公式和直角三角形面積公式計算后可對⑤進行判斷．

解：連結DD′，如圖，

∵線段AD以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′為等邊三角形，
∴DD′=5，所以①正確；
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆時針旋轉60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到，所以③正確；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
在△DD′C中，
∵32+42=52，
∴DC2+D′C2=DD′2，
∴△DD′C為直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∵△ADD′為等邊三角形，
∴∠ADD′=60°，
∴∠ADC≠150°，所以②錯誤；
∵∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴點D到CD′的距離為3，所以④正確；

∵S△ADD′+S△D′DC

＝6＋所以⑤錯誤．

故選：B．