Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，P為BC上一點，△APQ為等邊三角形，PQ與AC相交于點M，則下列結論中正確的是（ ） ①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AMAC；④若BP=PC，則PQ⊥AC．

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】證明：如圖，
∵△ABC和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，故②正確，
∴AB∥CQ，故①正確，
∵∠APQ=∠ACQ=60°，∠PAC=∠PAC，
∴△APM∽△ACP，
∴ = ，
∴AP2=ACAM，故③正確，
∵BP=PC，
∴∠BAP=30°，
∴∠PAC=30°，
∵∠APM=60°，
∴∠AMP=90°，
∴PQ⊥AC，故④正確．
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．