Question

【題目】已知，點P是正方形ABCD內的一點，連接PA，PB，PC．將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置（如圖）．

（1）設AB的長為a，PB的長為b（b＜a），求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖中陰影部分）的面積；

（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長．

Answer 1

【答案】(1)（a2-b2）；(2)6.

【解析】

試題分析：（1）依題意，將△P′CB逆時針旋轉90°可與△PAB重合，此時陰影部分面積=扇形BAC的面積-扇形BPP'的面積，根據旋轉的性質可知，兩個扇形的中心角都是90°，可據此求出陰影部分的面積．

（2）連接PP'，根據旋轉的性質可知：BP=BP'，旋轉角∠PBP'=90°，則△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，進而可根據勾股定理求出PC的長．

試題解析：（1）∵將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB，

S陰影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；

（2）連接PP′，根據旋轉的性質可知：△APB≌△CP′B，

∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，

∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；

又∵∠BP′C=∠BPA=135°，

∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．

PC==6．