Question

【題目】如圖1，在四邊形中，，點在邊上，平分，且.

（1）求證：；

（2）如圖2，已知交邊于點，交邊的延長線于點，且平分. 若，試比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），理由詳見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的定義可得∠CDE=∠ADE，再結合已知條件可得∠CDE=∠DEA，從而得出CD∥AB，根據平行線的性質以及已知條件可得∠B+∠A=180°，從而證得AD∥BC；
（2）由垂直的定義可得∠BGF=90°，由AD∥BC可得∠ADF=∠BGF=90°，由CD∥AB可得∠CDF=∠F，設∠EDB=∠BDF=x°，∠CDF=∠F=y°，則∠EDF=2x°，∠ADE=∠EDC=（2x+y）°，由∠ADF=∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x=90，得出y=90-4x，∠F=∠EDF=y°-2x°=90°-6x°，再根據∠BDC＜45°得出x+y＜45°，求出x的取值范圍，進而比較出∠F與∠EDF的大小．

（1）證明：

∵平分，

∴.

又∵，

∴.

∴

∴

又∵，

∴.

∴.

（2）解：

∵，

∴.

又∵

∴

∵，

∴.

設，

則，

由，得

∴

∴

∵

∴

，

解得，

∴.

∴

∴.