Question

【題目】在△AOB中，∠AOB=90°，AO=6厘米，BO=8厘米，分別以OB和OA所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，動點M從點A開始沿AO方向以2厘米/秒的速度向點O移動，同時動點N從點O開始沿OB方向以4厘米/秒的速度向點B移動（其中一點到達終點時，另一點隨即停止移動）．

（1）求過點A和點B的直線表達式；
（2）當點M移動多長時間時，四邊形AMNB的面積最小？并求出四邊形AMNB面積的最小值；
（3）在點M和點N移動的過程中，是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點M 和點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AO=6厘米，BO=8厘米，

∴A（0，6），B（8，0）．

設AB的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+6；

（2）

解：設四邊形AMNB的面積為S，M、N運動的時間為t，由題意，得

AM=2t，ON=4t，

∴OM=6﹣2t，

∴S△OMN= （6﹣2t）4t=﹣4t2+12t．

∴S= ﹣（﹣4t2+12t），

=24+4t2﹣12t，

=4（t﹣ ）2+15．

∵a=4＞0，

∴拋物線的開口向上，

∴當t= 時，S最小=15．

答：當點M移動 秒時，四邊形AMNB的面積最小，最小值為15厘米2；

（3）

解：當△OMN∽△OAB時，

∴ ，

∴ ，

∴t= ．

∴OM=6﹣2× = ，ON=4× = ，

∴M（0， ），N（ ，0）；

當△ONM∽△OAB時，

∴ ，

∴ ，

∴t= ．

∴OM=6﹣2× = ，ON=4× = ，

∴M（0， ），N（ ，0）

【解析】（1）根據條件可以求出點A和點B的坐標，然后運用待定系數法就可以求出解析式；（2）設四邊形AMNB的面積為S，M、N運動的時間為t，表示出S與t的函數關系式，再由其解析式就可以求出結論；（3）分類討論，當△OMN∽△OAB和△ONM∽△OAB時分別求出t的值就可以求出M、N的坐標．
【考點精析】利用確定一次函數的表達式和相似三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．