Question

【題目】如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG.

(1)求證：AC＝FG；

(2)當AC⊥FG時，△ABC應是怎樣的三角形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當AC⊥FG時，△ABC是等腰直角三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據題意推理出四邊形AFCG是矩形，然后根據矩形的性質得到對角線相等；

（2）由（1）的結論和AC⊥FG得到四邊形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．

試題解析：

(1)∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，

∴∠ABC＝∠EAD＝∠CAD＝∠ACB，

∴AB＝AC.

∵AF是BC邊上的中線，

∴AF⊥BC.

∵CG⊥AD，AD∥BC，

∴CG⊥BC，

∴AF∥CG，

∴四邊形AFCG是平行四邊形．

∵∠AFC＝90°，

∴四邊形AFCG是矩形．

∴AC＝FG.

(2)當AC⊥FG時，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

∵四邊形AFCG是矩形，AC⊥FG，

∴四邊形AFCG是正方形，∠ACB＝45°.

∵AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．