Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB向點B勻速運動；同時，動點N從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿BA向點A勻速運動．過線段MN的中點G作邊AB的垂線，垂足為點G，交△ABC的另一邊于點P，連接PM、PN，當點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．

（1）當t= 秒時，動點M、N相遇；

（2）設△PMN的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）2.5

（2）

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理可得AB=10，若動點M、N相遇，則有t+3t=10，即可求出t的值；

（2）由于“點P在BC上”與“點P在點AC上”及“點M在點N的左邊”與“點M在點N的右邊”對應的MN、PG的表達式不同，S與t之間的函數關系式也就不同，因此需分情況討論．只需先考慮臨界位置（點P與點C重合，點M與點N重合、點N與點A重合）所對應的t的值，然后分三種情況（①0≤t≤1.4，②1.4＜t＜2.5，③2.5＜t≤）討論，用t的代數式表示出MN和PG，就可解決問題．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，

∴t+3t=10，解得t=2.5（s），

即當t=2.5秒時，動點M，N相遇；

故答案為2.5；

（2）過點C作CH⊥AB于H，

由S△ABC=ACBC=ABCH得，CH==4.8，

∴AH==3.6，BH=10﹣3.6=6.4．

∵當點N運動到點A時，M，N兩點同時停止運動，∴0≤t≤．

當0≤t＜2.5時，點M在點N的左邊，如圖1、圖2，

MN=AB﹣AM﹣BN=10﹣t﹣3t=10﹣4t．

∵點G是MN的中點，∴MG=MN=5﹣2t，

∴AG=AM+MG=t+5﹣2t=5﹣t，

∴BG=10﹣（5﹣t）=t+5．

當點P與點C重合時，點G與點H重合，

則有5﹣t=3.6，解得t=1.4．

當2.5＜t≤時，點M在點N右邊，如圖3，

∵MN=AM﹣AN=AM﹣（AB﹣BN）=t﹣（10﹣3t）=4t﹣10，

∴NG=MN=2t﹣5，

∴AG=AN+NG=10﹣3t+2t﹣5=5﹣t．

綜上所述：①當0≤t≤1.4時，點M在點N的左邊，點P在BC上，如圖1，

此時MN=10﹣4t，BG=t+5，PG=BGtanB=（t+5）=t+，

∴S=MNPG=（10﹣4t）（t+）=﹣t2﹣t+；

②當1.4＜t＜2.5時，點M在點N的左邊，點P在AC上，如圖2，

此時MN=10﹣4t，AG=5﹣t，PG=AGtanA=（5﹣t）=﹣t，

∴S=MNPG=（10﹣4t）（﹣t）=t2﹣20t+；

③當2.5＜t≤時，點M在點N的右邊，點P在AC上，如圖3，

此時MN=4t﹣10，AG=5﹣t，PG=AGtanA=（5﹣t）=﹣t，

∴S=MNPG=（4t﹣10）（﹣t）=﹣t2+20t﹣；

∴S與t之間的函數關系式為．