Question

【題目】如圖，直線 與x軸交于點A，與直線 y=kx-3交于點C（c,6），直線 與y軸交于點B，連接AB．
（1）求k的值；
（2）求證：∠CAO=∠BAO；
（3）P為OA上一點，連結PB，M為PB中點，延長MO交直線AC于點N，若OP=x， ,求y關于x的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（c，6）y=x+3，
∴c+3=6，
∴c=4，
∴C（4，6），
又 ∵ C（4，6）在y=kx-3 上，
∴4k-3=6，
∴k=.
（2）證明：∵AC所在直線方程為：y=x+3，
∴D（0，3），A（-4，0），
∴AO=4，DO=3，
∴AD=5，
又∵BC所在的直線方程為：y=x-3，
∴B（0，-3），
∴BO=3，
∴AB=5，
在△ADO和△ABO中，
∵，
∴△ADO≌△ABO，
∴∠CAO=∠BAO.

（3）解：過M作ME⊥OP，作NF⊥y軸，設N（a，a+3）,

∴Rt△OEM∽Rt△NFO，
∴==，
∴=，
∴a=，
又∵=y，
∴=y，
∴y=.
∴y關于x的函數表達式為：y=.

【解析】

（1）由待定系數法得出c=4，又 ∵由C（4，6）在y=kx-3 上，得出k的值.
（2）由AC和BC所在直線方程方可得出D（0，3），A（-4，0），B（0，-3）；從而可以利用全等三角形的判定SAS得出△ADO≌△ABO，再根據全等三角形的性質得出∠CAO=∠BAO.
（3）過M作ME⊥OP，作NF⊥y軸，設N（a，a+3）,根據已知條件可以證明Rt△OEM∽Rt△NFO，再根據相似三角形的性質可以得出
==，從而得出a=，又由=y，得出y=.

【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．