Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度數；
（2）求證：DF是⊙O的切線；
（3）若AC=2 DE，求tan∠ABD的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵對角線AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠EDC=90°

（2）

證明：連接DO，

∵∠EDC=90°，F是EC的中點，

∴DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠OCF=90°，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切線；

（3）

解：如圖所示：

可得∠ABD=∠ACD，

∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，

∴∠DCA=∠E，

又∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴ ，

∴DC2=ADDE

∵AC=2 DE，

∴設DE=x，則AC=2 x，

則AC2﹣AD2=ADDE，

期（2 x）2﹣AD2=ADx，

整理得：AD2+ADx﹣20x2=0，

解得：AD=4x或﹣4.5x（負數舍去），

則DC= =2x，

故tan∠ABD=tan∠ACD= =2．

【解析】（1）直接利用圓周角定理得出∠CDE的度數；（2）直接利用直角三角形的性質結合等腰三角形的性質得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，進而得出答案；（3）利用相似三角形的性質結合勾股定理表示出AD，DC的長，再利用圓周角定理得出tan∠ABD的值．此題主要考查了圓的綜合以及切線的判定、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，根據題意表示出AD，DC的長是解題關鍵．