Question

【題目】如圖，直線y=2x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B．點C是該直線上不同于B的點，且CA=AB．

（1）寫出A、B兩點坐標；

（2）過動點P（m，0）且垂直于x軸的直線與直線AB交于點D，若點D不在線段BC上，求m的取值范圍；

（3）若直線BE與直線AB所夾銳角為45°，請直接寫出直線BE的函數解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），B（0，﹣2）；（2）m＜0或m＞2；（3）y=x﹣2或y=﹣3x﹣2．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖1中，作CF⊥x軸與F．利用全等三角形的性質求出點F坐標即可判斷；

（3）如圖2中，作AE⊥AB，使得AE=AB，作EH⊥x軸于H，則△ABE是等腰直角三角形，∠ABE=45°．利用全等三角形的性質求出點E坐標，當直線BE′⊥直線BE時，直線BE′也滿足條件，求出直線BE′的解析式即可；

解：（1）對于直線y=2x﹣2令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到x=1，

∴A（1，0），B（0，﹣2）．

（2）如圖1中，作CF⊥x軸與F．

∵CA=AB，∠CAF=∠OAB，∠CFA=∠AOB=90°，

∴△CAF≌△BAO，

∴AF=OA=1，CF=OB=2，

∴F（2，0），

觀察圖象可知m的取值范圍為：m＜0或m＞2．

（3）如圖2中，作AE⊥AB，使得AE=AB，作EH⊥x軸于H，則△ABE是等腰直角三角形，∠ABE=45°．

∵∠AOB=∠BAE=∠AHE=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，∠OAB+∠HAE=90°，

∴∠ABO=∠HAE，∵AB=AE，

∴△ABO≌△EAH，

∴AH=OB=2，EH=OA=1，

∴E（3，﹣1），

設直線BE的解析式為y=kx+b，則有

解得

∴直線BE的解析式為，

當直線BE′⊥直線BE時，直線BE′也滿足條件，直線BE′的解析式為y=﹣3x﹣2，

∴滿足條件的直線BE的解析式為或y=﹣3x﹣2．