Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，﹣n），拋物線經過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．

（1）求直線AB和OB的解析式．

（2）求拋物線的解析式．

（3）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接OD、BD．問△BOD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值并寫出此時點D的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= ，y=-x；（2） ；（3）△BOD的面積有最大值，最大值為 ，D（ ）.

【解析】試題分析：（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，利用待定系數法確定直線AB和直線OB的解析式即可；

（2）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；

（3）利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關于x的二次函數，進而得出最值即可．

解：（1）解方程x2-2x-3=0，

得 x1=3，x2=-1．

∵m＜n，

∴m=-1，n=3，

∴A（-1，-1），B（3，-3）．

設直線AB的解析式為y=kx+b

∴，

解得：.

∴直線AB的解析式為y=-x+；

設直線OB的解析式為y=kx，

∴3k=-3，

解得：k=-1，

∴直線OB的解析式為y=-x；

（2）∵拋物線過原點，設拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x．

（3）△BOD的面積是存在最大值；

過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．

設Q（x，-x），D（x，-x2+x）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=12DQOG+12DQGH，

=DQ（OG+GH），

= [x+（-x2+x）]×3，

=-（x-）2+，

∵0＜x＜3，

∴當x=時，S取得最x大值為，此時D（，-）．