Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， BO是AC邊上的中線，點P，D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，

（1）求證：△BPO≌△PDE．

（2）若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

（先將圖形補充完整，然后再證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.

【解析】分析：（1）根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質可得到∠2=∠1+∠3=∠4+∠C，可得到∠3=∠4，可證明△BPO≌△PDE；（2）由角平分線的定義結合（1）可證得∠ABP=∠4，結合條件可證明△ABP≌△CPD，可證得AP=CD．

本題解析:

(1)證明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，

∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠A=∠C =45°，

∵AB=BC， BO中線，∴BO⊥AC，∠1= =45°，∴∠1=∠C，

∵∠PBC =∠3+∠1，∠2=∠4+∠C，∴∠3=∠4，

∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，

在△BPO和△PDE中

∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED， BP＝PD

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，

∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∵∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，PB＝PD

∴△ABP≌△CPD（AAS）

∴AP=CD．