Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點，AE的延長線交CD于F，交BC的延長線于G，M是FG的中點.

（1）求證：① ∠1=∠2；② EC⊥MC.

（2）試問當∠1等于多少度時，△ECG為等腰三角形？請說明理由.

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）當∠1=30°時，△ECG為等腰三角形. 理由見解析.

【解析】試題分析：（1）①根據正方形的對角線平分一組對角可得然后利用邊角邊定理證明≌再根據全等三角形對應角相等即可證明；
②根據兩直線平行，內錯角相等可得 再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得然后據等邊對等角的性質得到，所以 然后根據即可證明 從而得證；
（2）根據（1）的結論，結合等腰三角形兩底角相等 然后利用三角形的內角和定理列式進行計算即可求解．

試題解析：(1)證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，

在△ADE與△CDE,

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴∠1=∠2，

②∵AD∥BG(正方形的對邊平行)，

∴∠1=∠G，

∵M是FG的中點，

∴MC=MG=MF，

∴∠G=∠MCG，

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠MCG，

∵

∴

∴EC⊥MC；

（2）當∠1=30°時， 為等腰三角形. 理由如下：

∵要使為等腰三角形，必有

∴span>

∵

∴

∴

∴∠1=30°.

【題型】解答題
【結束】
24

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O和點A，點B(2,3)是該拋物線對稱軸上一點，過點B作BC∥x軸交拋物線于點C，連結BO、CA，若四邊形OACB是平行四邊形.

（1）① 直接寫出A、C兩點的坐標；② 求這條拋物線的函數關系式；

（2）設該拋物線的頂點為M，試在線段AC上找出這樣的點P，使得△PBM是以BM為底邊的等腰三角形并求出此時點P的坐標；

（3）經過點M的直線把□ OACB的面積分為1:3兩部分，求這條直線的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）① A(4,0)，C(6,3) ；②所求的拋物線函數關系式為；（2）點P的坐標為(,1).

（3）所求直線為：x=2或y=x

【解析】試題分析：（1）①根據點B(2,3)是該拋物線對稱軸上一點，得出A點坐標為(4,0)，進而得出AO的長，即可得出BC=AO，求出C點坐標即可；
②根據三點坐標，利用待定系數法求出二次函數的解析式即可；
（2）首先求出所在解析式，進而得出符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，求出即可；
（3）由條件可知經過點M且把OACB的面積分為1:3兩部分的直線有兩條，分別得出即可．

試題解析：(1)①∵點B(2,3)是該拋物線對稱軸上一點，

∴A點坐標為(4,0)，

∵四邊形OACB是平行四邊形，

∴BC=AO，

∴C點坐標為：(6,3)，

②設所求的拋物線為 則依題意，得

,

解得：

∴所求的拋物線函數關系式為：

(2)設線段AC所在的直線的函數關系式為 根據題意，得

解得：

∴直線AC的函數關系式為：

∵

∴拋物線的頂點坐標M為(2,1)，

∴符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，

而BM=4,所以P點的縱坐標為1,把y=1代入中,得

∴點P的坐標為

(3)平行四邊形的中心對稱性可以得到經過點M且把的面積分為1:3兩部分的直線有兩條,

(ⅰ)∵OACB=OABD=4×3=12,△OBD的面積

∴直線x=2為所求,

(ⅱ)設符合條件的另一直線分別與x軸、BC交于點

則

∴四邊形ACFE的面積

即

∵BC∥x軸，

∴△MDE∽△MBF，

∴

∴

即

∴

∴

設直線ME的函數關系式為 則

解得：

∴直線ME的函數關系式為

綜合(ⅰ)(ⅱ)得,所求直線為：x=2或