Question

【題目】如圖1，△ABC是邊長為8的等邊三角形，AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E.

（1）求證：AE＝3EB

（2）若點F是AD的中點，點P是BC邊上的動點，連接PE，PF，如圖2所示，求PE＋PF的最小值及此時BP的長；

（3）在（2）的條件下，連接EF，當PE＋PF取最小值時，△PEF的面積是______.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PE＋PF的最小值是6，此時BP的長為2；（3）.

【解析】

（1）在三角形BED和三角形ABD中證明即可；

（2）作點F關于BC的對稱點點G，連接EG交BC于點P，此時PE＋PF的值最小等于EG.

作EH⊥AD于H，在直角三角形EGH中求出EG的長即可；可證明△EBP是等邊三角形，即可求出BP的長；

（3）證明三角形PEF是直角三角形即可求出面積.

解：（1）如圖1，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=，

∵AD⊥BC，DE⊥AB，

∴∠BDE=，∠BAD=，

∴

∴AB=4BE，

∴AE=3BE；

（2）如圖2，作點F關于BC的對稱點點G，連接EG交BC于點P，此時PE＋PF的值最小，

作EH⊥AD于H，

由（1）可知AE=6，∠EAH=，

∴EH=3，AH=，

∵AB=8，∠BAD=，

∴BD=4，AD=，

∴DG=DF=，DH=，

∴GH=，

∴，

∴PE+PF=PE+PG=EG=6，

∴EG=AE，

∴∠G=∠EAH=，

∴∠DPG=，

∴∠EPB=，

∴∠EPB=∠B=，

∴△EBP是等邊三角形，

∴BP=BE=2；

∴PE＋PF的最小值是6，此時BP的長為2.

（3）如圖2，連接EF，

在直角三角形AED中，EF是AD邊上的中線，

∴EF=FD=，

∵∠ADE=，

∴△EDF是等邊三角形，

∴∠DEF=，

由（2）可知∠BEP=，

∴∠DEP=，

∴∠PEF=，

∴S△PEF==.