Question

【題目】一次函數與一次函數的圖象的交點的縱坐標為， ．

（1）求的值；

（2）當 時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）聯立一次函數解析式，根據交點縱坐標為，可一求得交點橫坐標為1，進而得到a +b +c =2，對所給式子進行化簡，將a +b +c =2代入即可求出的值；

（2）a + b + c =2,平方化簡得a2 + b2 + c2 = 4－2×1 = 2，對所求證的式子進行變形得，(b－a)[1－2(a + b) + (b2 + a2 + ab)] = 0，分類進行討論即可.

（1）依題意得：，且abc≠0，

由①得：x=1，代入②得：a + b + c =2

a3 + b3 + c3－3abc－2(a2 + b2 + c2) + (a + b + c) = 0

(a + b + c)(a2 + b2 + c2－ab－bc－ca)－2(a2 + b2 + c2) + (a + b + c) = 0

2(a2 + b2 + c2－ab－bc－ca)－2(a2 + b2 + c2) + 2 = 0

ab + bc + ca = 1

（2）(a + b + c)2 = 22 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

a2 + b2 + c2 = 4－2×1 = 2

當 時，要證：，

只需證：b(1－b)2 = a(1－a)2

b(1－b)2－a(1－a)2 = 0

b－a－2(b2－a2) + (b3－a3) = 0

(b－a)[1－2(a + b) + (b2 + a2 + ab)] = 0 (*)

i）當a = b時，(*)式顯然成立；

ii）當a≠b時，

∵ a + b + c = 2，a2 + b2 + c2 = 2，ab + bc + ca = 1

∴ a + b = 2－c，a2 + b2 = 2－c2，ab = 1－c(a + b) = 1－c(2－c)

∴ 1－2(a + b) + (b2 + a2 + ab) = 1－2(2－c) + 2－c2 + 1－c(2－c)

= 1－4＋2c＋2－c2＋1－2c＋c2

= 0

∴ (*)式成立．

綜上，當 時，均有．