Question

【題目】已知拋物線 和直線y＝（k+1）x+（k+1）2．

（1）求證：無論k取何值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）如果拋物線與x軸的交點A，B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D，E，直線AD交直線CE于點G（如圖），且CAGE＝CGAB，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝x2﹣4x+3．

【解析】

（1）求出根的判別式并化為完全平方形式，利用一元二次方程的根的判別式大于0確定出拋物線與x軸的交點坐標有兩個；

（2）由CAGE=CGAB得出△CAG∽△CBE，進而判斷出△OAD∽△OBE得出OA：OB=OD：OE，拋物線與x軸交點是AB兩點，根據根與系數的關系可得OAOB＝．根據圖象與y軸交點可得：OD＝，OE＝（k+1）2，從而求得OB＝k+1，進而代入拋物線解析式求出k值即可.

解：（1）證明：∵△＝（k+2）2﹣4×1×＝k2﹣k+2＝，

∵，

∴△＞0，

故無論k取何實數值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

（2）∵CAGE＝CGAB，

∴CA：CB＝CG：CE，

∵∠ACG＝∠BCE，

∴△CAG∽△CBE，

∴∠CAG＝∠CBE，

∵∠AOD＝∠BOE，

∴△OAD∽△OBE，

∴OA：OB＝OD：OE，

∵拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，

直線與x軸的交點C在原點的左邊，

又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，

∴OAOB＝，OD＝，OE＝（k+1）2，

∴OAOB＝OD，由OA：OB＝OD：OE

∴OA：OB＝（OAOB）：OE，

∴OB2＝OE，

∴OB＝k+1，

∴點B（k+1，0），

將點B代入拋物線y＝x2﹣（k+2）x+得：

（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣＝0，

解得：k＝2，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3．