Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)為D，它與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求直線BC的解析式；

（3）求△BCD的面積；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并且寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（1，4）；（2）y＝﹣x+3；（3）3；（4）存在，點(diǎn)P（，）．

【解析】

（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+2+3＝4，即可求解；

（2）點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，3），將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式即可求解；

（3）△BCD的面積＝×DG×OB，即可求解；

（4）則S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3），即可求解．

解：（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝1，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+2+3＝4，

故點(diǎn)D（1，4）；

（2）y＝﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)為D，它與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得： ，解得： ，

故直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3；

（3）過點(diǎn)D作DG∥y軸交BC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G（1，2），

△BCD的面積＝×DG×OB＝（4﹣2）×3＝3；

（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），點(diǎn)H（x，﹣x+3），

則S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x（x﹣3），

∵，

∴S△PBC有最大值，最大值為：，

此時(shí)點(diǎn)P（，）．