Question

【題目】如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上．

（1）試說明CE是⊙O的切線；

（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數式表示⊙O的直徑AB；

（3）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD+OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）AB= ；（3）．

【解析】試題分析：（1）連接OC，如圖1，要證CE是⊙O的切線，只需證∠OCE=90°即可；

（2）過點C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2，在Rt△OHC中運用三角函數即可；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，先證四邊形AOCF是菱形，由對稱性可得DF=DO．過點D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，從而有CD+OD=DH+FD．根據兩點之間線段最短可得：當F、D、H三點共線時，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中運用三角函數即可解決問題．

試題解析：（1）連接OC，如圖1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切線；

（2）過點C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2，由題可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OCsin∠COH，∴h=OCsin60°=OC，∴OC== ，∴AB=2OC= ；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，則∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等邊三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四邊形AOCF是菱形，∴根據對稱性可得DF=DO，過點D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．根據兩點之間線段最短可得：當F、D、H三點共線時，DH+FD（即CD+OD）最小，此時FH=OFsin∠FOH=OF=6，則OF=，AB=2OF=，∴當CD+OD的最小值為6時，⊙O的直徑AB的長為．