Question

【題目】在中， ， ，點、 分別在射線、上（點不與點、點重合），且保持.

①若點在線段上（如圖），且，求線段的長；

②若， ，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2），（0＜x＜8）； （x≥8）

【解析】試題分析：（1）求線段CQ的長，根據已知條件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先證明△QCP∽△PBA，由比例關系式得出；

（2）要求y與x之間的函數關系式，以及函數的定義域，需要分兩種情況進行討論：BP在線段CB上，或在CB的延長線上，根據實際情況證明△QCP∽△ABP，根據相似三角形的性質求出比例式，進而得出y與x之間的函數關系式.

解：（1）∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，

∴∠BAP=∠CQP．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∴△CPQ∽△BAP．

∴．

∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，

∴， ．

(2）若點P在線段CB上，由（1）知，

∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，

又∵CQ=y，AB=5，∴，即．

故所求的函數關系式為，（0＜x＜8）．

若點P在線段CB的延長線上，如圖．

∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，

∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，

∴∠CPQ=∠PAB．

又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．

∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，

∴，即（x≥8）．