Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且為實數）與x軸分別交于點A、B（點B位于點A的右側且AB≠OA），與y軸交于點C．

（1）填空：點B的坐標為　 　，點C的坐標為　 　（用含m的代數式表示）；

（2）當m=3時，在直線BC上方的拋物線上有一點M，過M作x軸的垂線交直線BC于點N，求線段MN的最大值；

（3）在第四象限內是否存在點P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意兩三角形都相似（全等是相似的特殊情況）？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），B（3m，0）（2）當a=時，MN的最大值為（3）P（1，3），（1，），（1，）

【解析】

（1）令x＝0，或y＝0，可求B，C坐標；

（2）求出BC解析式，設M（a，a2＋a3），則N（a3），用a表示MN的長度，根據二次函數最值問題可求MN的最大值；

（3）由O，A，B都在x軸上，且要使△PCO，△POA，△PAB中的任意兩個三角形均相似，則三個三角形都是直角三角形．可得PA⊥x軸．分∠OPC＝90°和∠OCP＝90°，分兩種情況討論，根據相似三角形所得的線段比可求P點坐標．

（1）令y=0，則x=﹣m，

∴C（0，﹣m），

令y=0，則0=﹣x2+（3m+1）x﹣m，

∴x1=1，x2=3m，

且m＞，

∴A（1，0），B（3m，0），

（2）當m=3時，則拋物線解析式y=﹣x2+x﹣3，

∴C（0，﹣3），B（9，0），

∴直線BC解析式y=x﹣3

設M（a，﹣a2+a﹣3），則N（a﹣3）

∴MN=﹣a2+a﹣3﹣a+3=﹣a2+3a

∴當a=時，MN的最大值為；

（3）∵O，A，B都在x軸上

∴要使△PCO，△POA，△PAB中的任意兩個三角形均相似，則三個三角形都是直角三角形．

∴PA⊥x軸．

如圖1

當∠OCP=90°，且AO⊥CO，PA⊥AB

∴四邊形OACP是矩形

∴OA=CP=1，OC=AP=m

∵△POA∽△PAB

∴，

∴m2=（3m﹣1）×1

∴m2﹣3m+1=0

∴m1=，m2=

∴P（1，）或（1，）

如圖2

當∠OPC=90°時，

∵△OCP∽△AOP∽△ABP

∴，，

∴OP2=AP×OC=OA×OB，

∴AP×m=1×3m，

∴AP=3，

∴P（1，3），

綜上所述：P（1，3），（1，），（1，）