Question

【題目】已知拋物線C：y=x2﹣3x+m，直線l：y=kx（k＞0），當k=1時，拋物線C與直線l只有一個公共點．

（1）求m的值；
（2）若直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，直線l與直線l1：y=﹣3x+b交于點P，且 + = ，求b的值；
（3）在（2）的條件下，設直線l1與y軸交于點Q，問：是否在實數k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當k=1時，拋物線C與直線l只有一個公共點，

∴直線l解析式為y=x，

∵ ，

∴x2﹣3x+m=x，

∴x2﹣4x+m=0，

∴△=16﹣4m=0，

∴m=4

（2）

解：如圖，

分別過點A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，

則△OAC∽△OPD，∴ ．

同理， ．

∵ ，

∴ =2．

∴ =2．

∴ ，

即 ．

解方程組 ，

得x=x= ，

即PD= ．

由方程組 消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．

∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，

∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．

∴ ．

解得b=8．

（3）

解：不存在．理由如下：

假設存在，

當S△APQ=S△BPQ時，有AP=PB，

于是PD﹣AC=PE﹣PD，

即AC+BE=2PD．

由（2）可知AC+BE=k+3，PD= ，

∴k+3=2× ，

即（k+3）2=16．

解得k=1（舍去k=﹣7）．

當k=1時，A，B兩點重合，△BQA不存在．

∴不存在實數k使S△APQ=S△BPQ

【解析】（1）兩圖象有一個交點，則對應的方程組有一組解，即△=0，代入計算即可求出m的值；（2）作出輔助線，得到△OAC∽△OPD， + =2，同理 + =2，AC，BE是x2﹣（k+3）x+4=0兩根，即可；（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了相似三角形的性質和判定，比例的性質，一元二次方程的根與系數的關系，解本題的關鍵是靈活運用根與系數的關系．
【考點精析】認真審題，首先需要了解根與系數的關系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商)，還要掌握比例的性質(基本性質；更比性質（交換比例的內項或外項）；反比性質（交換比的前項、后項）；等比性質)的相關知識才是答題的關鍵．