Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）連接BC交x軸于點F．試在y軸負半軸上找一點P，使得△POC∽△BOF．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c （a≠0），

將點A（﹣2，0）、B（﹣3，3）、0（0，0），

代入可得：

解得：a=1，b=2，c=0，

所以拋物線的解析式為y=x2+2x

（2）解：如圖，

∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，

∴頂點C的坐標為（﹣1，﹣1）．

∵B（﹣3，3），

∴tan∠BOF= =1，tan∠POC= =1，

∴∠BOF=45°，∠POC=45°．

∴∠POC=∠BOF，

∴∠POC=45°=∠BOF，

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵直線經過點B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1），

∴

解得：k=﹣2，b=﹣3，

∴直線BC解析式為y=﹣2x﹣3，

令y=0，得x=﹣ ，

因此，點F（﹣ ，0），

∴OF= ，OB= =3 ，

OC= = ，

∵∠POC=∠BOF，

∴當 = 時，△POC∽△BOF，

代入求出OP=4，

即當P點的坐標為（0，﹣4）時，△POC∽△BOF．

【解析】（1）拋物線的解析式為y=ax2+bx+c （a≠0），把A、B、C的坐標代入求出即可；（2）求出∠BOF=∠POC，求出OB、OF、OC的長，根據相似得出比例式，代入求出即可．
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．