Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩點，∠BAC=∠DAC，過點C做直線EF⊥AD，交AD的延長線于點E，連接BC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧 的長l．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連接OD，DC，

∵∠DAC= DOC，∠OAC= BOC，

∴∠DAC=∠OAC，

∵ED=1，DC=2，

∴sin∠ECD= ，

∴∠ECD=30°，

∴∠OCD=60°，

∵OC=OD，

∴△DOC是等邊三角形，

∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，

∴l= = π．

【解析】（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到結論；（2）連接OD，DC，根據角平分線的定義得到∠DAC=∠OAC，根據三角函數的定義得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到結論．
【考點精析】關于本題考查的弧長計算公式，需要了解若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的才能得出正確答案．