Question

【題目】如圖1，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=10，AD=12，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：現(xiàn)將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F在AD上（如圖2）；然后將紙片沿折痕DH進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)C落在第一次的折痕BF上的點(diǎn)G處，點(diǎn)H在BC上（如圖3），給出四個(gè)結(jié)論：
①AF的長為10；②△BGH的周長為18；③ = ；④GH的長為5，
其中正確的結(jié)論有 ． （寫出所有正確結(jié)論的番號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：如圖，過點(diǎn)G作MN∥AB，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=12，
由折疊可得AB=BE，且∠A=∠ABE=∠BEF=90°，
∴四邊形ABEF為正方形，
∴AF=AB=10，
故①正確；
∵M(jìn)N∥AB，
∴△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且MN=AB=10，
設(shè)BN=x，則GN=AM=x，MG=MN﹣GN=10﹣x，MD=AD﹣AM=12﹣x，
又由折疊的可知DG=DC=10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2=GD2 ，
即（12﹣x）2+（10﹣x）2=102 ， 解得x=4，
∴GN=BN=4，MG=6，MD=8，
又∠DGH=∠C=∠GMD=90°，
∴∠NGH+∠MGD=∠MGD+∠MDG=90°，
∴∠NGH=∠MDG，且∠DMG=∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴ = = ，即 = = ，
∴NH=3，GH=CH=5，
∴BH=BC﹣HC=12﹣5=7，
故④正確；
又△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且BN=4，MG=6，
∴BG=4 ，GF=6 ，
∴△BGF的周長=BG+GH+BH=4 +5+7=12+4 ， = = ，
故②不正確；③正確；
綜上可知正確的為①③④，
所以答案是：①③④．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識(shí)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等，以及對(duì)相似三角形的性質(zhì)的理解，了解對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．