Question

【題目】如圖，點A和動點P在直線l上，點P關于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側，PC=4，過點C作直線m⊥l，過點O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF= CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設AQ=3x．
（1）用關于x的代數式表示BQ，DF．
（2）當點P在點A右側時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．
（3）在點P的整個運動過程中， ①當AP為何值時，矩形DEGF是正方形？
②作直線BG交⊙O于點N，若BN的弦心距為1，求AP的長（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABQ中，

∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，

∴AB=4x，

∴BQ=5x，

∵OD⊥m，m⊥l，

∴OD∥l，

∵OB=OQ，

∴ =2x，

∴CD=2x，

∴FD= =3x

（2）解：∵AP=AQ=3x，PC=4，

∴CQ=6x+4，

作OM⊥AQ于點M（如圖1），

∴OM∥AB，

∵⊙O是△ABQ的外接圓，∠BAQ=90°，

∴點O是BQ的中點，

∴QM=AM= x

∴OD=MC= ，

∴OE= BQ= ，

∴ED=2x+4，

S矩形DEGF=DFDE=3x（2x+4）=90，

解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，

∴AP=3x=9

（3）解：①若矩形DEGF是正方形，則ED=DF，

I．點P在A點的右側時（如圖1）

∴2x+4=3x，解得：x=4，

∴AP=3x=12；

II．點P在A點的左側時，

當點C在Q右側，

0＜x＜ 時（如圖2），

∵ED=4﹣7x，DF=3x，

∴4﹣7x=3x，解得：x= ，

∴AP= ；

當 ≤x＜ 時（如圖3），

∵ED=4﹣7x，DF=3x，

∴4﹣7x=3x，解得：x= （舍去），

當點C在Q的左側時，即x≥ （如圖4），

DE=7x﹣4，DF=3x，

∴7x﹣4=3x，解得：x=1，

∴AP=3，

綜上所述：當AP為12或 或3時，矩形DEGF是正方形；

②連接NQ，由點O到BN的弦心距為l，得NQ=2，

當點N在AB的左側時（如圖5），

過點B作BM⊥EG于點M，

∵GM=x，BM=x，

∴∠GBM=45°，

∴BM∥AQ，

∴AI=AB=4x，

∴IQ=x，

∴NQ= =2，

∴x=2 ，

∴AP=6 ；

當點N在AB的右側時（如圖6），

過點B作BJ⊥GE于點J，

∵GJ=x，BJ=4x，

∴tan∠GBJ= ，

∴AI=16x，∴QI=19x，

∴NQ= =2，

∴x= ，

∴AP= ，

綜上所述：AP的長為6 或 ．

【解析】（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位線的性質得AH=BH= AB，求得CD，FD；（2）利用（1）的結論，易得CQ的長，作OM⊥AQ于點M（如圖1），則OM∥AB，由垂徑定理得QM=AM= x，由矩形性質得OD=MC，利用矩形面積，求得x，得出結論；（3）①點P在A點的右側時（如圖1），利用（1）（2）的結論和正方形的性質得2x+4=3x，得AP；點P在A點的左側時，當點C在Q右側，0＜x＜ 時（如圖2），4﹣7x=3x，解得x，易得AP；當 時（如圖3），7﹣4x=3x，得AP；當點C在Q的左側時，即x≥ （如圖4），同理得AP；②連接NQ，由點O到BN的弦心距為l，得NQ=2，當點N在AB的左側時（如圖5），過點B作BM⊥EG于點M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；當點N在AB的右側時（如圖6），過點B作BJ⊥GE于點J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ= ，利用（1）（2）中結論得AI=16x，QI=19x，解得x，得AP．