Question

【題目】拋物線經過點和點．

求該拋物線所對應的函數解析式；

該拋物線與直線相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．

連結PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；

連結PB，過點C作，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得與相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在點P運動過程中，的面積存在最大值，最大值為81；

存在點P，使得與相似，點P的坐標為或．

【解析】

(1)由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

(2)①聯立拋物線與直線CD的解析式成方程組，通過解方程組可求出點C、D的坐標，設點P的坐標為，則點N的坐標為，，根據三角形面積公式可得出，利用二次函數的性質即可解決最值問題；②利用相似三角形的性質可得出：若與相似，則有或，設點P的坐標為，則點N的坐標為，點M的坐標為，點Q的坐標為，進而可得出，，，，將其代入或中即可求出x的值，結合即可得出點P的坐標．

(1)∵拋物線經過點和點，

，

解得，

該拋物線對應的函數解析式為；

(2))①聯立拋物線與直線CD的解析式成方程組，

得：，

解得：，，

與相似，點P的坐標為或．

設點P的坐標為，則點N的坐標為，

，

．

，

當時，取最大值，最大值為81，

在點P運動過程中，的面積存在最大值，最大值為81．

②∵，

若與相似，則有或，

設點P的坐標為，則點N的坐標為，點M的坐標為，點Q的坐標為，

，，，．

當或時，有，

解得：，舍去，

點P的坐標為；

當時，有，

解得：，舍去，

點P的坐標為．

綜上所述：存在點P，使得與相似，點P的坐標為或．