Question

如圖平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，n）和點B（m，1）為雙曲線y=

k

x

第一象限上兩點，連接OA、OB．
（1）試比較m、n的大小；
（2）若∠AOB=30°，求雙曲線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于點A（1，n）和點B（m，1）都在雙曲線y=

k

x

上，把點A和B的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)的解析式，得出用含k的代數(shù)式表示m、n的式子，即可知道m(xù)、n的大小；
（2）如果過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥x軸于D，那么首先證明△ACO≌△BDO，得出∠AOC=∠BOD=30°，然后在Rt△AOC中，由AC=1，∠AOC=30°，求出OC的值，即得到點A的坐標(biāo)，由于點A在雙曲線上，利用待定系數(shù)法即可求出雙曲線的解析式．

解答：解：（1）∵點A（1，n）和點B（m，1）為雙曲線y=

k

x

上的點，
∴n=

k

1

，1=

k

m

．（2分）
∴m=n=k（3分）

（2）過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥x軸于D，
則∠ACO=∠BDO=90°，AC=1，OC=n，BD=1，OD=m．
∴AC=BD．
∵m=n，∴OC=OD，AC=BD．
∴△ACO≌△BDO．
∴∠AOC=∠BOD=

1

2

（∠COD-∠AOB）=

1

2

（90°-30°）=30°．
在Rt△AOC中，tan∠AOC=

AC

OC

，∴OC=

AC

tan∠AOC

=

1

tan30°

=

3

．
∴點A的坐標(biāo)為（1，

3

）．
∵點A（1，

3

）為雙曲線y=

k

x

上的點，
∴

3

=

k

1

，∴k=

3

．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．

點評：此題綜合考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的判定，正切函數(shù)的定義等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．