Question

【題目】已知直線y=x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求拋物線解析式；

（2）點(diǎn)C（m，0）在線段OA上（點(diǎn)C不與A，O點(diǎn)重合），CD⊥OA交AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，若DE=AD，求m的值；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，在（2）的條件下，是否存在以點(diǎn)D，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x22x+3（2）-2（3）存在（1，2）或（1，0）

【解析】分析：（1）先求直線與軸和軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m可得D和E的橫坐標(biāo)都是m，根據(jù)解析式表示其縱坐標(biāo)，計(jì)算鉛直高度DE的長(zhǎng)，利用勾股定理得： 最后根據(jù)已知列式可得m的值；
（3）分兩種情況：
①以BC為一邊，如圖1，證明≌，得可得
②當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，如圖2，M在拋物線的頂點(diǎn)，N是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)

詳解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴B(0,3)，

當(dāng)y=0時(shí)，x+3=0，

x=3，

∴A(3,0)，

把A(3,0),B(0,3)代入拋物線中得：

解得：

∴拋物線的解析式為：

(2)∵CD⊥OA,C(m,0)，

∴

∴

∵AC=m+3,CD=m+3,

由勾股定理得：

∵

∴

(m+3)(m+2)=0，

m1=3(舍),m2=2；

(3)存在，分兩種情況：

①以BC為一邊，如圖1，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，

∵C(2,0)，

∴D(2,1),E(2,3),

∴E與B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴BE∥x軸，

∵四邊形DNMB是平行四邊形，

∴BD=MN,BD∥MN，

∵

∴△EDB≌△GNM，

∴NG=ED=2，

∴N(1,2)；

②當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，如圖2，

M在拋物線的頂點(diǎn)，N是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)四邊形BMDN是平行四邊形，

此時(shí)N(1,0)；

綜上所述,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,2)或(1,0).