Question

【題目】如圖，AD是⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的弦．過點B作BC∥AD，交⊙O于點C，連接AC，過點C作CD∥AB，交AD于點D．連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=9，BC=6．求PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：PC與圓O相切，理由為：

過C點作直徑CE，連接EB，如圖，

∵CE為直徑，

∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．

∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，

∴CE⊥PC，

∴PC與圓O相切；

（2）解：∵AD是⊙O的切線，切點為A，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM=CM= BC=3，

∴AC=AB=9，

在Rt△AMC中，AM= =6 ，

設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6 ﹣r）2=r2，解得r= ，

∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，

∴BE=2OM= ，

∵∠E=∠MCP，

∴Rt△PCM∽Rt△CEB，

∴ = ，

即 = ，

∴PC= ．

【解析】（1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據切線的判斷得到結論；（2）根據切線的性質得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據垂徑定理有BM=CM= BC=3，根據等腰三角形性質有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據勾股定理計算出AM=6 ；設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，根據勾股定理計算出r= ，則CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，利用中位線性質得BE=2OM= ，然后判斷Rt△PCM∽Rt△CEB，根據相似比可計算出PC．