Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），直線l：y=﹣1．動(dòng)點(diǎn)P滿足條件：

①P在這個(gè)平面直角坐標(biāo)系中；
②P到A的距離和P到l的距離相等；
（1）求點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的軌跡方程，并在網(wǎng)格中繪制這個(gè)圖象．（提示：平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離可以通過(guò)勾股定理來(lái)求得）
（2）已知直線y=kx+1，小明同學(xué)說(shuō)，這條直線與（1）中所繪的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)？你能說(shuō)明小明為什么這么說(shuō)嗎？
（3）經(jīng)過(guò)了上述的計(jì)算、繪圖，小明發(fā)現(xiàn)，如果第（2）問(wèn)的兩個(gè)交點(diǎn)分別為B、C，那么，過(guò)BC的中點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為H，連接BH、CH，所得到的三角形BCH是個(gè)特殊的三角形，你能說(shuō)明它是什么三角形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)P的坐標(biāo)為P（x，y），由題意得： =|y+1|，

兩邊平方得：x2+（y﹣1）2=（y+1）2，

∴y= x2，即P的軌跡為一拋物線，其圖象如圖1所示；

（2）

解：拋物線直線方程聯(lián)立得 ，消去y可得x2﹣4kx﹣4=0，

∴△=16k2+16＞0，

∴直線y=kx+1與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）

解：如圖2，過(guò)B作BB′⊥l于B′，過(guò)C作CC′⊥l于C′，

由（1）中的條件可得BB′=BA，CC′=CA，

∴BC=BA+AC=BB′+CC′，

又由題意可得MH是梯形BB′C′C的中位線，

∴MH= （BB′+CC′）= BC，

∴MB=MC=MH，

∴△BHC是以∠BHC為直角的直角三角形．

【解析】（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出P到A的距離和P到l的距離相等，可求得其軌跡方程，可畫(huà)出圖象；（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式利用一元二次方程的判別式可判斷得出；（3）過(guò)B作BB′⊥l于B′，過(guò)C作CC′⊥l于C′，由條件可證明MH為梯形BB′C′C的中位線，可證得△BCH為直角三角形．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．