Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點 （不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．
（1）弦長AB等于（結果保留根號）；
（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數；
（3）當AC的長度為多少時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：連接OA，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）解：∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，

∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此時∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴∠DAC=60°，

∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，

即OC⊥AB，

∴AC= AB= ．

∴當AC的長度為 時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似．

【解析】解：（1）過點O作OE⊥AB于E， 則AE=BE= AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OBcos∠B=2× = ，
∴AB=2 ；
故答案為：2 ；
（1）過點O作OE⊥AB于E，由垂徑定理即可求得AB的長；（2）連接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，則可求得∠DAB的度數，又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半，即可求得∠DOB的度數；（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性質即可求得答案．