Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與 AD相交于點P，BQ⊥AD于點Q.

（1）求證： BE=AD

（2）求證：PQ=BP

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】

試題分析：(1)根據等邊三角形的性質可得：AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，根據SAS可證△BAE≌ACD，根據全等三角形的性質可證BE=AD；

(2)根據全等三角形對應角相等可證∠ABE=∠CAD，根據三角形外角的性質可證∠BPQ=∠ABE+∠BAD，所以可以求出∠PBQ=30°，根據直角三角形的性質可證PQ=BP.

試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形

∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°

在△BAE和△ACD中

∴△BAE≌ACD（SAS），

∴BE=AD；

（2）∵△BAE≌△ACD，

∴∠ABE=∠CAD.

∵∠BPQ為△ABP外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.

∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴PQ=BP.