Question

【題目】如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于點G，過點A作AE∥DB交CB的延長線于點E，過點B作BF∥CA交DA的延長線于點F，AE，BF相交于點H．

（1）圖中有若干對三角形是全等的，請你任選一對進行證明；（不添加任何輔助線）

（2）證明：四邊形AHBG是菱形；

（3）若使四邊形AHBG是正方形，還需在Rt△ABC的邊長之間再添加一個什么條件？請你寫出這個條件．（不必證明）

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）詳見解析；（3）需要添加的條件是AB=BC．

【解析】試題分析：（1）可根據已知條件，或者圖形的對稱性合理選擇全等三角形，如△ABC≌△BAD，利用SAS可證明．

（2）由已知可得四邊形AHBG是平行四邊形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB為等腰三角形，AHBG的兩鄰邊相等，從而得到平行四邊形AHBG是菱形．

試題解析：

（1）解：△ABC≌△BAD．

證明：∵AD=BC，

∠ABC=∠BAD=90°，

AB=BA，

∴△ABC≌△BAD（SAS）．

（2）證明：∵AH∥GB，BH∥GA，

∴四邊形AHBG是平行四邊形．

∵△ABC≌△BAD，

∴∠ABD=∠BAC．

∴GA=GB．

∴平行四邊形AHBG是菱形．

（3）需要添加的條件是AB=BC．