Question

【題目】如圖是的中線，是線段上一點（不與點重合），交于點，，連結.

（1）如圖1，當點與重合時，求證：四邊形是平行四邊形；

（2）如圖2，當點不與重合時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由.

（3）如圖3，延長交于點，若，且.當，時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）結論成立，理由詳見解析；（3）DH=1+.

【解析】

試題分析：（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，則△ABD△EDC，得到AB=ED，根據有一組對邊平行且相等，可得四邊形ABDE為平行四邊形.（2）過點M作MG//DE交EC于點G，則可得四邊形DMGE為平行四邊形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可證得；（3）在已知條件中沒有已知角的度數時，則在求角度時往特殊角30°，60°，45°的方向考慮，則要求這樣的特殊角，就去找邊的關系，構造直角三角形，取線段HC的中點I，連結MI，則MI是△BHC的中位線，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，則去找Rt△AMI中邊的關系，求出∠CAM；設DH=x,即可用x分別表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到對應邊成比例，求出x的值即可.

試題解析：（1）證明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，

∵CE//AM，

∴∠ECD=∠ADB，

又∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD=DC，

∴△ABD△EDC，

∴AB=ED，又∵AB//ED,

∴四邊形ABDE為平行四邊形。

（2）解：結論成立，理由如下：

過點M作MG//DE交EC于點G，

∵CE//AM，

∴四邊形DMGE為平行四邊形，

∴ED=GM且ED//GM，

由（1）可得AB=GM且AB//GM，

∴AB=ED且AB//ED.

∴四邊形ABDE為平行四邊形.

（3）

解：取線段HC的中點I，連結MI，

∴MI是△BHC的中位線，

∴MI//BH,MI=BH，

又∵BH⊥AC，且BH=AM，

∴MI=AM，MI⊥AC，

∴∠CAM=30°

設DH=x,則AH=x，AD=2x,

∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,

由（2）已證四邊形ABDE為平行四邊形，

∴FD//AB，

∴△HDF~△HBA，

∴， 即

解得x=1±（負根不合題意，舍去）

∴DH=1+.