Question

【題目】已知：內(nèi)接于，，直徑交弦于點(diǎn).

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，弦經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)，連接，，，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）連接CO，DO，求出，根據(jù)三線合一證明即可；

（2）連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥MN于點(diǎn)Q，OR⊥AC于點(diǎn)R，OT⊥AD于點(diǎn)T，證明Rt△EOT≌Rt△FOR，可推出AE＝CF；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CK∥AD交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)E作EW⊥AF于點(diǎn)W，證△CPF≌△CPK，△CGK≌△EGA，求出DE＝2GH＝14，AC＝25＋14＝39，CR＝，再求出AW，CW的長(zhǎng)，通過(guò)勾股定理求出EW，CE的長(zhǎng)，推出CG的長(zhǎng)，通過(guò)銳角三角函數(shù)求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)一步可求出OG的長(zhǎng)．

（1）證明：如圖，連接，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，即；

（2）證明：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，

∵，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，即；

（3）解：如圖，

∵，

∴，

∴，

在四邊形中，，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線點(diǎn)，則，，，

∵，

∴，

∴，又∵，，

∴，∴，

∴，∴，

∴，∵，，∴，∴，∴.

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴.

在中，，

在中，，∴.

∴.

在中，，∴，∴，

∴.