Question

【題目】如圖，已知：AB是⊙O的弦，過點B作BC⊥AB交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，取AD的中點E，過點E作EF∥BC交DC的延長線于點F，連接AF并延長交BC的延長線于點G．
求證：

（1）FC=FG；
（2）AB2=BCBG．

Answer 1

【答案】
（1）

證明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，

∴EF⊥AD，

∵E是AD的中點，

∴FA=FD，

∴∠FAD=∠D，

∵GB⊥AB，

∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，

∴∠DCB=∠G，

∵∠DCB=∠GCF，

∴∠GCF=∠G

∴FC=FG；

（2）

證明: 連接AC，如圖所示：

∵AB⊥BG，

∴AC是⊙O的直徑，

∵FD是⊙O的切線，切點為C，

∴∠DCB=∠CAB，

∵∠DCB=∠G，

∴∠CAB=∠G，

∵∠CBA=∠GBA=90°，

∴△ABC∽△GBA，

∴ ，

∴AB2=BCBG．

【解析】（1）由平行線的性質得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質得出FA=FD，由等腰三角形的性質得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結論；（2）連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對應邊成比例，即可得出結論．
本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、弦切角定理等知識；熟練掌握圓周角定理和弦切角定理，證明三角形相似是解決問題（2）的關鍵．
【考點精析】掌握垂徑定理和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．