Question

【題目】綜合題
（1）【問題提出】如圖1．△ABC是等邊三角形，點D在線段AB上．點E在直線BC上．且∠DEC=∠DCE．求證：BE=AD；

（2）【類比學習】如圖2．將條件“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其他條件不變．判斷線段AB，BE，BD之間的數量關系，并說明理由．

（3）【擴展探究】如圖3．△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點D在線段AB的反向延長線上，點E在直線BC上，且∠DEC=∠DCE，【類比學習】中的線段AB、BE、BD之間的數量關系是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出線段AB，BE，BD之間的數量．

Answer 1

【答案】
（1）證明：作DF∥BC交AC于F，如圖1所示：

則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，

∴△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，

∴AD=DF，

∵∠DEC=∠DCE，

∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，

在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD

（2）解：EB=AB+BD；理由如下：

作DF∥BC交AC的延長線于F，如圖2所示：

同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，

又∵∠DBE=∠DFC=60°，

∴在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD，

∴EB=AB+BD

（3）解： BE=3DB﹣3AB．

理由：作DF∥BC交CA的延長線于F，如圖3所示，

則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC+∠DCE=180°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ADF=∠AFD=∠ABC，

∵∠DEC=∠DCE，

∴DE=DC，∠FDC+∠DEC=180°，

∵∠DEC+∠DEB=180°，

∴∠FDC=∠DEB，

在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，DB=CF，

∵CF=AC+AF=AB+AF，

∴DB=AB+AF，

過點A作AG⊥DF于G，

∵AF=AD，

∴DF=2FG，

在Rt△AFG中，∠AFG=90°﹣∠FAG=90°﹣ ∠BAC=30°，

∴FG= AF，

∴EB=DF=2FG= AF，

∴AF= EB

∴DB=AB+ BE，

即： BE=3DB﹣3AB．

【解析】（1）作DF∥BC交AC于F，首先證明△ABC是等邊三角形，然后再由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論；
（2）作DF∥BC交AC的延長線于F，首先證明△DBE≌△CFD，從而可得到EB=DF，即可得出結論；
（3）作DF∥BC交CA的延長線于F，首先證明△DBE≌△CFD，從而可得到EB=DF，再利用含30°的直角三角形的性質即可得出結論.