Question

【題目】在△ABC 中，AB BC AC，∠A ∠B ∠C 60°．點 D、E 分別是邊 AC、AB 上的點（不與 A、B、C 重合），點 P 是平面內一動點．設∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若點 P 在邊 BC 上運動（不與點 B 和點 C 重合），如圖⑴所示，則∠1+∠2 ．（用 α 的代數式表示）

（2）若點 P 在△ABC 的外部，如圖⑵所示，則∠α、∠1、∠2 之間有何關系？寫出你的結論，并說明理由．

（3）當點 P 在邊 BC 的延長線上運動時，試畫出相應圖形，并寫出∠α、∠1、∠2 之間的關系式．（不需要證明）

Answer 1

【答案】（1）如圖（1）60 α ；（2）∠2=60 ∠1 α；理由見解析；（3）如圖（3）時，2 1 60 α，如圖（4）時，∠2 ∠1=60 α.

【解析】

（1）根據四邊形內角和定理以及鄰補角的定義得出∠1+∠2=∠C+∠α，進而得出即可；

（2）利用三角形內角和定理以及鄰補角的性質可得出∠α=∠1-∠2+60°；

（3）利用三角外角的性質得出．需要分類討論，如圖所示．

（1）如圖（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，

∴∠1+∠2=∠A+α，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=60°，

∴∠1+∠2=60°+α．

故答案是：60°+α；

（2）∠2=60 ∠1 α，

證明：如圖（2），

∵ 1 是△POD 的外角，

∴∠1=α+∠POD，

∵∠POD=∠AOE，

∴∠1=α+∠AOE，

∴∠AOE=∠1，

∵∠2 是△AOE 的外角，

∴∠2=∠A ∠AOE，

∴∠2=60 ∠1 α；

（3）兩種情況如下：

如圖（3）時，2 1 60 α，

如圖（4）時，∠2 ∠1=60 α.