Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=a(x-5)(x+1)與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C（0，）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點P，使△ACP是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點G為拋物線上的一動點，過點G作GE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為點F，連接EF．當線段EF的長度最短時，求出點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（-5，-20）；（3）G（，2） （，2）

【解析】試題分析：（1）運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點A作，交軸于點，交拋物線與點，通過∽ 求得OH的長，從而得到H點坐標，繼而得到直線AP的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可得到點P坐標；

（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF,根據(jù)垂線段最短可得當時，OD（即EF）的長度最小．然后只需求出點D的縱坐標，就可得到點G的縱坐標，代入解析式就可求出點G的橫坐標，從而得到點G的坐標.

（1） ∵拋物線與軸交于點C（0， ），∴，

∴；

（2）過點A作，交軸于點，交拋物線與點，則A（5，0），B（-1，0）

∵，

∴∽span> ∴ ∴；

又∵， ，∴，

∴H（0，-10），A（5，0），∴直線AP的解析式為y=2x-10，

聯(lián)立 ∴P（-5，-20）；

（3）∵軸， 軸，∴四邊形OFDE是矩形，∴EF=OD，

∴EF長度的最小值為OD長度的最小值，當時，OD的長度最小．

此時， ，

又∵軸， ，∴∽，∴

∴，∴OE=2，∴點G的縱坐標為2，

∴ 解得，

∴G（，2） （，2）.