Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣3）三點．

（1）直接寫出拋物線的解析式 ；

（2）點D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC、BD，試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

（3）如圖2，在（2）的條件下，將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B′O′C′，在平移過程中，△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S，設平移的時間為t秒（0≤t≤3），試求S與t之間的函數關系式？

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣2x﹣3;(2)、P（﹣，﹣）；(3)、S=．

【解析】

試題分析：(1)、根據題意設拋物線交點式，待定系數法求解可得；(2)、求出點D坐標可得CD∥x軸，由B、C坐標可得∠OCB=∠CBO=∠DCB=45°，繼而證△CDB≌△CQB可得CQ=CD=2，即點Q的坐標，從而求得直線BP的解析式，設拋物線上的點P（n，n2﹣2n﹣3），代入直線BP解析式可求得n的值，可得答案；

(3)、①點C′在CD上運動時，即0≤t≤2時，根據：S=S△BCD﹣S△CC″E﹣S△C″DF，求解即可；②點C′在CD延長線上運動時，即2＜t≤3時，根據：S=S△GEB，求解可得．

試題解析：(1)、根據題意設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

將點C（0，﹣3）代入，得：﹣3a=﹣3，

解得：a=1， ∴y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

(2)、存在， 將點D（2，m）代入拋物線解析式得：m=﹣3， ∴D（2，﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3） ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠CBO=45°， 如圖1，設BP交y軸于點Q，

∵CD∥x軸， ∴∠DCB=∠BCQ=45° ∴△CDB≌△CQB（ASA） ∴CQ=CD=2，

∴點Q（0，﹣1）， 設直線BP：y=kx﹣1，

點B（3，0）代入得：3k﹣1=0， ∴k=， ∴直線BP：y=x﹣1，

設P的坐標為（n，n2﹣2n﹣3）， 代入y=x﹣1，得：n2﹣2n﹣3=n﹣1

解得：n=﹣或n=3（舍去） 當n=﹣時，n2﹣2n﹣3=﹣ ∴P（﹣，﹣）．

(3)、∵B（3，0），C（0，﹣3），D（2，﹣3）， ∴求得直線BC：y=x﹣3，直線BD：y=3x﹣9，

①當0≤t≤2時，如圖2：

∵由已知設C′（t，﹣3），B′（3+t，0） ∴求得直線C′B′：y=（x﹣t）﹣3，再聯立直線BD：y=3x﹣9，求得F（，﹣t）， ∵∠DCB=45° ∴C′E=t

∴S=S△BCD﹣S△CC″E﹣S△C″DF=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣t），

整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）

②當2＜t≤3時，如圖3：

∵由已知設G（t，3t﹣9），E（t，t﹣3） ∴S=S△GEB=[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）

整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）， 綜上所述：S=．