Question

【題目】(1)如圖1，點(diǎn)D、E分別是等邊△ABC邊AC、AB上的點(diǎn)，連接BD、CE，若AE=CD，求證：BD=CE.

(2)如圖2，在(1)問的條件下，點(diǎn)H在BA的延長(zhǎng)線上，連接CH交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BF=BC，

①求證：EH=EC；

②請(qǐng)你找出線段AH、AD、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）①詳見解析;(2) AH＋DF=AD.

【解析】

（1）根據(jù)SAS，得△AEC≌△BDC，證明BD=CE.（2）①設(shè)∠FBC=x，利用三角形內(nèi)角和分別用x表示∠H和∠ECH，發(fā)現(xiàn)∠H=∠ECH，所以EH=EC；②利用等腰三角形和等邊三角形的邊相等轉(zhuǎn)化得到AH+DF=AD.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°.

在△AEC和△CDB中，

∵AE=CD，∠A=∠ACB，AC=BC，

∴△AEC≌△CDB.

∴BD=CE.

(2) ①設(shè)∠FBC=x，則∠BCF=90°－，∠DCF= 90°－－60°=30°－，

∠H=∠BAC－∠DCF=30°＋，同樣∠ECH=30°＋.

∴∠H=∠ECH，

∴EH=EC.

②AH=BD-DC，①

DF=AC-BD②

①＋②得AH＋DF= AC－DC=AD.